Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-xy-x^2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)
VT là 1 số chính phương mà vế phải là tích 2 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=0\\xy+1=0\end{matrix}\right.\)
+ Với \(xy=0\Rightarrow\left(x+y\right)^2=x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0\)
+ Với \(xy+1=0\Rightarrow xy=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;y=-1\\x=-1;y=1\end{matrix}\right.\)
\(5x^2+x\left(5y-7\right)+5y^2-14y=0\)
\(\Delta=\left(5y-7\right)^2-4.5.\left(5y^2-14y\right)=-75y^2+210y+49\)
Để PT có nghiệm nguyên thì \(\Delta\ge0\)
từ đó tìm được các giá trị nguyên của y, rồi tìm được x
\(x^2+x+xy-2y^2-y=5\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2x+2xy-4y^2-2y=10\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+2y+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)\)\(-4y^2=10\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2+\left(x+y\right)^2-4y^2=10\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)^2-4y^2\right]+\left[\left(x+y\right)^2-\left(y+1\right)^2\right]=10\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2y+1\right)=10\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1+x-1\right)=10\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(2x-2y\right)=10\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=10\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)
Vì \(x,y>0\left(x,y\inℤ\right)\Rightarrow x+2y+1\inℤ^+\)
Mà \(\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)
Do đó \(\left(x-y\right)\inℤ^+\)
Vì \(x+2y+1\ge x-y>0\)(vì \(x;y\in Z^+\))
\(\Rightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5.1\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y+2=5\\x=y+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=3\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}}\)(thỏa mãn \(x,y\inℤ^+\))
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)
Lưu ý : tớ ghi \(ℤ^+\)là chỉ số nguyên dương, ghi vào vở bạn nên ghi là "số nguyen dương" thôi.
\(pt\Leftrightarrow x^2-x+2x-2+2y^2-2xy^2+y-xy=1\\ \Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(2y^2+y-x-2\right)=1\)
e tự xét 2 th ra
\(2y^2+x-2y+5=xy\)
\(\Leftrightarrow8y^2-4xy+4x-8y+20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4y^2-4xy+x^2\right)-\left(x^2-4x+4\right)+\left(4y^2-8y+4\right)=-20\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-x\right)^2-\left(x-2\right)^2+\left(2y-2\right)^2=-20\)
bn tự giải tiếp
Làm tiếp bài bạn ɱ√ρ︵ƤUɮĞツ『ღƤℓαէїŋʉɱ ₣їɾεツ』⁀ᶜᵘᵗᵉ
\(\left(2y-x\right)^2-\left(x-2\right)^2+\left(2y-2\right)^2=-20\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-2x-2\right)\left(2y-2\right)+\left(2y-2\right)^2=-20\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-2\right)\left(2y-2x-2+2y-2\right)=-20\)
\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)\left(4y-2x-4\right)=-20\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y-x-2\right)=-5\)
Đến đây đơn giản rồi
ta có \(5\left(x^2+xy+y^2\right)=7\left(x+2y\right)\)
zì 5 , 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau . Nên
\(\hept{\begin{cases}x+2y=5m\\x^2+xy+y^2=7m\end{cases}m\inℤ}\)
từ \(x+2y=5m=>5m-2y=x.\)thay zô \(x^2+xy+y^2=7m\)zà rút gọn ta được
\(\left(5m-2y\right)^2+\left(5m-2y\right)y+y^2=7m\Leftrightarrow3y^2-15my+25m^2-7m=0\left(1\right)\)
=>\(3\left(y^2-5my\right)+25m^2-7m=0=>3\left(y-\frac{5m}{2}\right)^2-\frac{75m^2}{4}=7m-25m^2\)
=>\(3\left(y-\frac{5m}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\left(-25m^2+28m\right)\)
zì \(3\left(y-\frac{5m}{2}\right)^2\ge0\forall m,y\)
=>\(\frac{1}{4}\left(-25m^2+28m\right)\ge0\Leftrightarrow25m^2-28m\le0\Leftrightarrow m\left(m-\frac{28}{25}\right)\le0\Leftrightarrow0\le m\le\frac{28}{25}\)
mà \(m\inℤ\)nên \(m\in\left\{0,1\right\}\)
zới m=0 thay zô (1) ta được y=0. từ đó tính đc x=0
zới m =1 thây zô (1) ta được \(3y^2-15y+18=0=>y^2-5y+6=0=>\orbr{\begin{cases}y=2\\y=3\end{cases}}\)
zới y=2 , m=1 thì ta tính đc x=1
zới y=3 , m=1 thì ta tính đc x=-1
zậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0,0\right);\left(1,2\right)\left(-1,3\right)\right\}\)
Áp dụng bất đẳng thức x^2+y^2 ≥ 2xy nên ta có x^2+y^2+xy ≥ 3xy
Mà x^2+y^2+xy=x^2y^2 ≥ 0 nên suy ra x^2y^2+3xy ≤ 0 ⟺−3 ≤ xy ≤ 0
Vì x,y nguyên nên xy nguyên, vậy nên xy∈{−3,−2,−1,0}
Trường hợp xy=−3 ta tìm được các nghiệm (−1,3),(3,−1),(−3,1),(1,−3)
Trường hợp xy=−2 ta tìm được các nghiệm (−1,2),(2,−1),(1,−2),(−2,1)
Trường hợp xy=−1 ta tìm được các nghiệm (−1,1),(1,−1)
Trường hợp xy=0 ta tìm được nghiệm (0,0)
Thử lại thì thấy chỉ có các nghiệm (0,0),(1,−1),(−1,1) thỏa mãn và đó là các nghiệm nguyên cần tìm
\(x^2+xy+y^2=x^2y^2\)
\(x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)
Do \(xy\left(xy+1\right)\) là 2 số nguyên liên tiếp mà tích của chúng là một số chỉnh phương nên 1 trong 2 số phải bằng 0
Từ đây suy ra nghiệm x=y=0 hoặc x=1;y=-1 hoặc x=-1;y=1
À uhm , tớ viết thiếu : xy = -1 chứ ko phải 1 nhé , Còn cách thì có nhiều , góp cho bạn 2 cách nữa :
C1 , \(pt\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2=\left(2xy+1\right)^2-1\) (Tại sao thì ráng hiểu :V)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2-\left(2xy+1\right)^2=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+2y-2xy-1\right)\left(2x+2y+2xy+1\right)=-1\)
Úm ba la lập bảng là ra
C2,Dùng bđt cho lạ :V
Giả sử |x| < |y|
\(\Rightarrow x^2\le y^2;xy\le y^2\)
Khi đó \(x^2+xy+y^2\le y^2+y^2+y^2=3y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\le3y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2\le3\)
\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0;1\right\}\)(Do x nguyên)
Ngạc nhiên chưa !!! -_-
Góp thêm cách nữa ạ:
Lời giải
Nhân 4 vào mỗi vế
\(4x^2+4xy+4y^2=4x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2+3y^2=4x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2=y^2\left(4x^2-3\right)\)
Nếu y = 0 thì x = 0.Ta có nghiệm (0;0)
Nếu \(y\ne0\) thì \(4x^2-3=k^2\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-k\right)\left(2x+k\right)=3\)
Dễ dàng tìm được \(x=\pm1\).Thay vào tìm được y.